Question

（本題滿分10分）已知函數,()，若同時滿足以下條件：

①在D上單調遞減或單調遞增

②  存在區間[]D,使在[]上的值域是[]，那么稱()為閉函數。

（1）求閉函數符合條件②的區間[]；

（2）判斷函數是不是閉函數？若是請找出區間[]；若不是請說明理由；

（3）若是閉函數，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在R上單減，所以區間[]滿足

解得

（2）易知在上單調遞增.設滿足條件B的區間為，則方程組

有解，即方程至少有兩個不同的解

也即方程有兩個都不小于的不等根.

得，即位所求.

另解：

 

(1) 易知函數是減函數,則有  ,解得,

(2) 取特值說明即可，不是閉函數.

(3) 由函數是閉函數,易知函數是增函數,則在區間上函數的值域也是,說明函數圖像與直線有兩個不同交點,令,則有

 =,(令) ,如圖

則直線若有兩個交點，則有

 

【解析】略