Question

(本小題滿分12分)

已知函數f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.

       (Ⅰ)當m＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

       (Ⅱ)當m＝1時，證明方程f(x)＝g(x)有且僅有一個實數根；

       (Ⅲ)若xÎ(1,e]時，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

解：⑴ m＝2時，f(x)＝2x－,f¢(x)＝2＋,f¢(1)＝4,    …………………………1分

切點坐標為(1,0)，∴切線方程為y＝4x－4              ………………………………2分

⑵ m＝1時，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx,則h¢(x)＝1＋－＝≥0

∴h(x)在(0,＋∞)上是增函數。                         ………………………………4分

又h(e).h()＝－(－e＋2)²＜0, ∴h(x)在(,e)上有且只有一個零點  …………………5分

∴方程有且僅有一個實數根；                     ………………………6分

(或說明h(1)＝0也可以)

⑶ 由題意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x²－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x²－1＞0

則當xÎ(1,e]時，m＜恒成立,                        ……………………7分

令G(x)＝，當xÎ(1,e]時，G¢(x)＝＜0, ……………………9分

則G(x)在xÎ(1,e]時遞減，∴G(x)在xÎ(1,e]時的最小值為G(e)＝,……………11分

則m的取值范圍是(－∞,]                                  ………………12分