Question

（本小題滿分12分）
一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B ，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到 ，記為 ；②當從A口輸入自然數時，在B口得到的結果是前一個結果的倍.
（1）當從A口分別輸入自然數2 ，3 ，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想的關系式，并證明你的結論；
（2）記為數列的前項的和。當從B口得到399的倒數時，求此時對應的的值.

Answer 1

（1）由已知得  
當時，，  1分
同理可得        ……………（ 2分）
猜想   ……………（2分）
下面用數學歸納法證明成立
①當時，由上面的計算結果知成立  
②假設時，成立，即 ，
那么當時，

即         
當時，也成立                              
綜合①②所述，對 ，成立。
……………（ 4分）
（2）由（1）可得
                                       ……………（2分）  

……………（2分）               

略