Question

在數列中{a_n}，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）若λa_n-a_n+1≤0對任意的正整數N恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，可得{

1

an

}為等差數列，由此求出數列{

1

an

}的通項公式，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結果代入λa_n-a_n+1≤0，分離參數，得到λ≤

an+1

an

，轉化為求函數的最小值即可解決；

解答：解：（1）由題意知數列各項不為0，
由3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0，得3+

1

an-1

-

1

an

=0，
所以

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以數列{

1

an

}為等差數列，首項為1，公差為3，
則

1

an

=1+（n-1）•3=3n-2，所以a_n=

1

3n-2

；
（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即λ≤

an+1

an

恒成立，整理得：λ≤

3n-2

3n+1

=1-

3

3n+1

，
設f（x）=1-

3

3x+1

，可知f（x）在x∈（-

1

3

，+∞）上單調遞增，
所以當n=1時，[1-

3

3n+1

]min=

1

4

，
所以λ的取值范圍為λ∈（-∞，

1

4

]．

點評：考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想．