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過雙曲線
y2
3
-x2=1的上支上一點P作雙曲線的切線分別交兩條漸近線于點A，B．（1）求證：
OA
•
OB
為定值．（2）若
OB
=
AM
，求動點M的軌跡方程．
分析：（1）設P（x0，y0）是雙曲線上任一點，先求曲線在P點處的切線方程，再將切線方程與兩條漸近線聯立即可解得A、B的坐標，從而證明
OA
•
OB
為定值；（2）設動點M（x，y），由
OB
=
AM
，得
OM
=
OA
+
OB
，將向量坐標代入即可得M點坐標與P點坐標間的關系，代入點P的軌跡即可得動點M的軌跡方程．
解答：解．（1）∵雙曲線
y2
3
-x2=1的上支可表示為函數y=
3+3x2
，且y′=
1
2
×
6x
3+3x2
=
3x
3+3x2

設P（x0，y0）是雙曲線上任一點，則雙曲線在該點處的切線為y-y0=
3x 0
3+3x 02
（x-x0）
即y-y0=
3x 0
y0
（x-x0），即y0y-3x0x=3，
與漸近線方程y=
3
x聯立，解得A(
3
y0-
3
x0
，
3
y0-
3
x0
)（由于P不在雙曲線的漸近線上，故y0±
3
x0≠0）；
與漸近線y=-
3
x聯立，解得B(
-
3
y0+
3
x0
，
3
y0+
3
x0
)，
∴
OA
•
OB
=
-3
y
2
0
-3
x
2
0
+
9
y
2
0
-3
x
2
0
=
-3
3
+
9
3
=2（定值）
（2）設M（x，y）為所求軌跡上一點，由
OB
=
AM
知
OM
=
OA
+
OB
，由（1）有
x=
3
y0-
3
x0
+
-
3
y0+
3
x0
y=
3
y0-
3
x0
+
3
y0+
3
x0

即
x0=
x
2
y0=
y
2

再由P（x0，y0）在雙曲線
y2
3
-x2=1 （y＞0）上
∴
y
2
0
3
-
x
2
0
=1，
∴
y2
4
3
-
x2
4
=1
故所求軌跡為
y2
12
-
x2
4
=1(y＞0)．
點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其幾何意義，切線方程的求法，代入法求動點的軌跡方程
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

過雙曲線x2-
y2
3
=1的左焦點F作直線l交雙曲線于不同的兩點P與Q，則滿足|PQ|=6的直線l的條數有（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•天津）已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為
x2-
y2
3
=1
x2-
y2
3
=1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知雙曲線的方程為x2-
y2
3
=1，直線m的方程為x=
1
2
，過雙曲線的右焦點F的直線l與雙曲線的右支相交于P、Q，以PQ為直徑的圓與直線m相交于M、N，記劣弧
MN
的長度為n，則
n
|PQ|
的值為（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

過雙曲線
y2
3
-x2=1的上支上一點P作雙曲線的切線分別交兩條漸近線于點A，B．（1）求證：
OA
•
OB
為定值．（2）若
OB
=
AM
，求動點M的軌跡方程．

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