Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且過點M（1 ， 

3

）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點P是圓C上的動點，試求點P到直線x+y-4=0的距離的最小值；
（3）若直線l與圓C相切，且l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，求△ABC的面積最小時直線
l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據圓的定義求出圓的半徑，進而結合題意寫出圓的方程．
（2）由圓的性質可得：P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值是圓心到直線l的距離減去半徑，結合點到直線的距離公式可得答案．
（3）設直線l的方程為：y=kx+b，根據題意可得：k＜0，b＞0，又因為l與圓C相切，得到b關于k的一個關系式，再用b與k表示出三角形的面積可得：S△ABC=2(-k+

1

-k

)≥4，然后利用基本不等式求出面積的最大值與k、b的值即可．

解答：解：（1）由題意可得：圓C的半徑為|CM|=

1+3

=2，…（2分）
所以圓C的方程為x²+y²=4…（3分）
（2）圓心到直線l的距離為d=

|-4|

12+12

=2

2

，…（4分）
所以P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值為：2

2

-2…（6分）
（3）設直線l的方程為：y=kx+b，
因為l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，所以k＜0，b＞0，且A(-

b

k

 ， 0) ，  B(0 ， b)，
又因為l與圓C相切，
所以C點到直線l的距離等于圓的半徑2，即：

|b|

k2+1

=2⇒b2=4k2+4，①，
因為S△ABC=

1

2

(-

b

k

)b=

-b2

2k

②…（8分）
所以將①代入②得S△ABC=

-(4k2+4)

2k

=2(-k+

1

-k

)≥4

(-k)• 1 -k

=4，
當且僅當k=-1時取等號，
所以當k=-1時，△ABC的面積最小，
此時b2=4k2+4=8，    b=2

2

，
所以直線l的方程為：y=-x+2

2

…（10分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的標準方程與圓的一個性質，以及結合點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系．