Question

（2009•虹口區一模）已知：橢圓C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)和雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

4

=1．過橢圓C₁的右焦點F₂作與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點，|PQ|=3．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若以橢圓右頂點A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）橢圓過焦點垂直長軸的直線被橢圓截得的弦長等于

2b 2

a

，用此公式代入已知條件，可以求出橢圓C₁的半短軸b的值，從而得出橢圓C₁的方程；
（2）以橢圓右頂點A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，說明右頂點A（2，0）到雙曲線的漸近線2x±ay=0的距離等于該圓的半徑1，用點到直線的距離公式建立關系式，可以求出雙曲線的實半軸a的值，從而得出雙曲線的方程．

解答：解：（1）根據橢圓C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，
過右焦點F₂作與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|=3．
可得：2×

b 2

2

=3⇒b=

3

所以橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得橢圓的右頂點為A（2，0），焦點F₂（1，0）
∵橢圓右頂點A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，
∴點A（2，0）到直線y=±

2

a

x的距離等于圓的半徑1
得

|4|

2 2+a 2

=1⇒a²=12
∴雙曲線C₂的方程為：

x2

12

-

y2

4

=1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程，屬于中檔題．直線與圓錐曲線、直線與圓和橢圓相結合，利用點到直線的距離解決相切相交等等考點，是近幾年常考的知識點，值得我們注意．