Question

如下圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=+1，E為BB₁上使B₁E=1的點.平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G，求：

（1）異面直線AD與C₁G所成的角的大小；

（2）二面角A—C₁G—A₁的正切值.

Answer 1

解：(1)以A₁為原點，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.于是，A（0，0，+1），C₁（1，1，0），D（0，1，+1），E（1，0，1），=（0，1，0），=（0，1，-1）.因為EC₁和AF分別是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以EC₁∥AF.??

設G（0，y,0）,則=（0，y，-（+1））.?

由∥得=,于是y=+1.?

故G（0，+1，0），=（-1，，0）.?

設異面直線AD與C₁G所成的角的大小為θ,則?

cosθ==.從而θ=.?

(2)作A₁H⊥C₁G交GC₁的延長線于H，由三垂線定理知AH⊥GH，故∠AHA₁為二面角A—C₁G—A₁的平面角.?

設H（a,b,0）,則?

=(a,b,0),=(a-1,b-1,0).?

由A₁H⊥C₁G得·=0，?

由此得a-b=0.              ①?

又由H、C₁、G共線得∥?

從而=,?

于是a+b-(+1)=0.            ②?

聯立①和②得：a=,b=.?

故H（，，0）.?

由||==，?

||=+1得?

tan∠AHA₁===2.