Question

在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：．
（Ⅲ）設b_n=tana_n•tana_n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作T_n，
由等比數列的性質，序號的和相等，則項的乘積也相等知T_n=，
又a_n=lgT_n，（n≥1），
∴a_n=lgT_n=lg=lg10ⁿ⁺²=n+2；
（Ⅱ）證明：tan1=tan[（k+1）-k]=
∴
（Ⅲ）解：b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）tan（n+3）=-1
∴數列{b_n}的前n項和S_n=++…+-n
=-n
分析：（Ⅰ）由等比數列的性質，序號的和相等，則項的乘積也相等知T_n=，結合a_n=lgT_n，（n≥1），即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，即可證得結論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，累加，即可求數列{b_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，解題的關鍵是熟練掌握等差數列與等比數列的性質，再結合對數的運用性質得出求出數列{a_n}的通項公式，本題考查了綜合利用知識轉化變形的能力