Question

（2013•門頭溝區一模）在平面直角坐標系xOy中，動點P到直線l：x=2的距離是到點F（1，0）的距離的

2

倍．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線FP與（Ⅰ）中曲線交于點Q，與l交于點A，分別過點P和Q作l的垂線，垂足為M，N，問：是否存在點P使得△APM的面積是△AQN面積的9倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設點P的坐標為（x，y），根據點到直線的距離公式和兩點間的距離公式，結合題意建立關于x、y的等式，化簡整理可得x²+2y²=2，所以動點P的軌跡方程為橢圓

x2

2

+y²=1；
（II）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．將直線FP方程x=ty+1與橢圓消去x，得到關于y的一元二次方程，結合根與系數的關系得到y₁+y₂和y₁y₂關于t的表達式．若△APM的面積是△AQN面積的9倍，由平幾知識可得△AQN∽△APM，則PM=3QN，結合橢圓的性質得PF=3QF．因此得到y₁=-3y₂結合前面的等式，解出t=-1，從而得到存在點P（0，±1）使得△APM的面積是△AQN面積的9倍．

解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y）．
由題意知

2

•

(x-1)2+y2

=|2-x|…（3分）
化簡得x²+2y²=2，
∴動點P的軌跡方程為x²+2y²=2，即

x2

2

+y²=1--------（5分）
（Ⅱ）設直線FP的方程為x=ty+1，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
因為△AQN∽△APM，所以PM=3QN，
由已知得PF=3QF，所以有y₁=-3y₂…（1）--------（7分）
由

x=ty+1 x 2+2y 2=2

，消去x得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴△＞0且y₁+y₂=-

2t

t2+2

…（2），y₁y₂=-

1

t2+2

…（3）--------（10分）
聯解（1）（2）（3），得t=-1，y₁=1，y₂=-

1

3

或t=1，y₁=-1，y₂=

1

3

∴存在點P（0，±1）使得△APM的面積是△AQN面積的9倍．--------（13分）

點評：本題給出動點P的軌跡是橢圓，探索橢圓的焦點弦所在直線與準線相交構成三角形的面積問題．著重考查了橢圓的簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系和三角形相似等知識，屬于中檔題．