Question

已知定點A(-

3

，0)，B是圓C：(x-

3

)2+y2=16（C為圓心）上的動點，AB的垂直平分線與BC交于點E．
（1）求動點E的軌跡方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與E的軌跡交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據|EA|=|EB|可判斷出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|進而根據橢圓的定義可知點E的軌跡是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，E的軌跡方程可得．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）將直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得k與m的不等式關系；同時根據AB的垂直平分線與BC，可分別表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得k和m的關系式，進而可求得k的范圍．設O到直線l的距離為d，根據三角形面積公式可得△OPQ的面積的表達式，根據k的范圍確定△OPQ的面積的最大值．求出此時的k和m，所求的直線方程可得．

解答：解：（1）由題知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵|AC|=2

3

＜4∴點E的軌跡是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，
∴E的軌跡方程為

x2

4

+y2=1
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）
將直線y=kx+m與

x2

4

+y2=1
聯立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又x0=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y0=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

依題意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得k2＞

1

5

，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

設O到直線l的距離為d，則S△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 16(4k2+1-m2)

1+4k2

=

2 (4k2+1)(5k2-1)

9k2

=

2

9

20+ 1 k2 - 1 k4

當

1

k2

=

1

2

時，△OPQ的面積取最大值1，
此時k=

2

，m=

3 2

2

，∴直線方程為y=

2

x+

3 2

2

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的關系，考查了學生對圓錐曲線綜合知識的把握．