Question

等差數列{a_n}中，a₂=4，其前n項和S_n滿足Sn=n2+λn(λ∈R)．
（Ⅰ）求實數λ的值，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{

1

Sn

+bn}是首項為λ、公比為2λ的等比數列，求數列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用a₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，求出λ=1，再利用數列中a_n與 S_n關系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通項公式．
（II）求出數列{

1

Sn

+bn}的通項公式，再得出數列{b_n}的通項公式，最后根據通項公式形式選擇相應方法求和．

解答：解：（I）因為a₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，解得λ=1∴Sn=n2+n
當n≥2時，則an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，
當n=1時，也滿足，所以a_n=2n．
（II）由已知數列{

1

Sn

+bn}是首項為1、公比為2的等比數列
其通項公式為

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1，且首項

1

S1

+b1=1，
故b1=

1

2

，

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1=2^n-1
bn=2n-1-

1

n(n+1)

=2n-1-(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=（1+2¹+…+2^n-1）…-[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2ⁿ-1-

n

n+1

．

點評：本題考查利用數列中a_n與 S_n關系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通項公式．數列公式法、裂項法求和．考查轉化、計算能力．