Question

已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少相同的項？并求所有相同項的和．

Answer 1

分析：根據兩個等差數列的相同的項按原來的先后次序組成一個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數求解，或由條件可知兩個等差數列的通項公式，可用不定方程的求解方法來求解．

解答：解：解法一：設兩個數列相同的項按原來的前后次序組成的新數列為{a_n}，則a₁=11．
∵數列5，8，11，…與3，7，11，…公差分別為3與4，
∴{a_n}的公差d=3×4=12，
∴a_n=12n-1．
又∵5，8，11，…與3，7，11，…的第100項分別是302與399，
∴a_n=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N^*，
∴兩個數列有25個相同的項．
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．
解法二：設5，8，11，與3，7，11，分別為{a_n}與{b_n}，則a_n=3n+2，b_n=4n-1．
設{a_n}中的第n項與{b_n}中的第m項相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

4

3

m-1．
又m、n∈N^*，∴設m=3r（r∈N^*），
得n=4r-1．
根據題意得

1≤3r≤100 1≤4r-1≤100

解得1≤r≤25（r∈N^*）．
從而有25個相同的項，且公差為12，
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．

點評：解法1利用了等差數列的性質，解法2利用了不定方程的求解方法，對學生的運算能力要求較高．