Question

（本題滿分14分）定義在D上的函數，如果滿足；對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界。
已知函數，
（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數在上是以3為上界函數值，求實數的取值范圍；
（3）若，求函數在上的上界T的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當時，.
∵在上遞增，所以，
即在上的值域為.      …………………………………2分
故不存在常數，使成立.
所以函數在上不是有界函數. ……………………………………4分
（2）∵函數在上是以3為上界的有界函數，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
            ……………………………6分
設，，.
由,得.設，則
，，
所以在 上遞增，在上遞減.
在上的最大值為，在上的最小值為.
所以實數的取值范圍為.       …………………………………………… 9分
（3））方法一:，.
∵ m>0 ，,.
∴，
∵
∴.           …………………………………………11分
① 當，即時，
，此時；
② 當，即時，
，此時.
綜上所述，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是   ………………………………………………………14分
方法二: .
令，因為，所以.
.
因為在上是減函數，所以.…………………11分
又因為函數在上的上界是，所以.
當時，，;
當時，，.……………………14分

略