Question

（08年湖南六校聯考理）  設函數，其中

    （1）求的單調區間；

       （2）當時，證明不等式；

       （3）已知，若存在實數使得，則稱函數存在零點，試證明在內有零點。

Answer 1

解析：（1）由已知得函數的定義域為且，

       由，解得。

       當變化時，，的變化情況如下表：

	－	0	＋
		極小值

       由上表可知，當時，，函數在內單調遞減；當時，，函數在內單調遞增，所以，函數的單調減區間是，函數的單調增區間是。

       （2）設。

       對求導，得。

       當時，，所以在內是增函數。又因為在上連續，所以在上是增函數。

       當時，，即

       同理可證（8分）

       （3）由（1）知的最小值為，令

       將代入，得：，

       即，

       ，即。可知

       假設在內沒有零點，由于在上連續，且，（10分）

       故當時，恒成立（若不然，則與函數零點存在的判定定理矛盾）。

       即對任意恒成立。

       令，對求導，得。

       ，由（2）知在內為減函數。

       ，這與矛盾，故假設不成立。

       所以在內有零點。（13分）