Question

如圖所示，點N在圓x²+y²=4上運動，DN⊥x軸，點M在DN的延長線上，且（λ＞0）．
（1）求點M的軌跡方程，并求當λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）當時，（1）所得曲線記為C，已知直線，P是l上的動點，射線OP（O為坐標原點）交曲線C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設M（x，y），N（x₀，y₀），
由得 x=x₀，y=λy₀，
∴

把N（x₀，y₀）代入圓的方程得，
化簡得

當0＜λ＜1時，M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓

（2））當時，（1）所得曲線C為．
設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在橢圓上，∴①②

設，由比例性質得 ，∴x₁=tx，y₁=ty

代入①得③

∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴，
∴

代入②得④

由③④聯立得=，又t≠0，
∴，原點除外．
化簡得點Q的軌跡方程為x²-2x+4y²-4y=0（原點除外）．

分析：（1）利用，確定動點坐標之間的關系，利用點N在圓x²+y²=4上運動，可以得到點M的軌跡方程，從而可得λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根據比例性質，條件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐標之間的關系，化簡變形即可得到點Q的軌跡方程．
點評：本題重點考查代入法求軌跡方程，考查消參思想，解題的關鍵是確定動點坐標之間的關系，綜合性較強．