Question

定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解關于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）記f（x）=3•F（1，x），設Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，若不等式

an

Sn

＜

an+1

Sn+1

對n∈N*恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）記g（x）=F（x，2），正項數列a_n滿足：a1=3，g(an+1)=8an，求數列a_n的通項公式，并求所有可能的乘積a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

分析：（1）有定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）先把關于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1，然后求解一元二次不等式即可；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）的解析式，進而求得Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，然后利用不等式

an

Sn

＜

an+1

Sn+1

對n∈N*恒成立求解即可；
（3）有g（x）=F（x，2），且正項數列a_n滿足：a1=3，g(an+1)=8an，求出數列a_n的通項公式，即可．

解答：解：（1）有定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）得到：不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1?

1

2

≤x≤1；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）=3x∴Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)=3(

1

n

+

2

n

+…+

n

n

 )=

3

2

(n+1)，
∵

an

Sn

-

an+1

Sn+1

=

an

3 2 (n+1)

-

an=1

3 2 (n+2)

=

2

3

an(

1

n+1

-

a

n+2

)＜0對n∈N*恒成立，
當a＞0時，aⁿ＞0，∴

1

n+1

-

a

n+2

＜0對n∈N*恒成立?a＞

n+2

n+1

=1+

1

n+1

對n∈N*恒成立，易知(

n+2

n+1

)max=

3

2

，∴a＞

3

2

（3）∵g（x）=F（x，2），∴g（x）=2^x，又正項數列a_n滿足：a1=3，g(an+1)=8an，∴2an+1=8an?a_n+1=3a_n又a₁=3
∴a_n=3ⁿ?a_i•a_j=3^i+j（o≤i≤j≤n），
將所得的積排成如下矩陣A=

.

31+1， 31+2， 31+3， 31+4，…， 31+n   32+2， 32+3， 32+4，…， 32+n     33+3， 33+4，…， 33+n•       …           3n+n

.

，設該矩陣的各項和為S，由在矩陣的空格處填上相應的數可以得：
矩陣B=

.

31+1， 31+2， 31+3， 31+4，… 31+n 32+1， 32+2， 32+3， 32+4，… 32+n 33+1， 33+2， 33+3， 33+4，… 33+n … … … …   … … 3n+1， 3n+2， 3n+3， 3n+4，… 3n+n

.

，
在矩陣B中第一行的所有數的和為S1=32+33+…+3n+1=

1

2

(3n+1-9)；
  在矩陣B中第二行的所有數的和為 S2=33+34+…+3n+2=

3

2

(3n+2-9)；
…

點評：此題考查了一元二次不等式的求解，還考查了作差及不等式的恒成立及等比數列的求和．