Question

在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．

AC，BD交于O點．

（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：

（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．

Answer 1

解析:

（Ⅰ）解：連QO，則QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD過QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

（Ⅱ）解：過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD內的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

設正方形ABCD邊長2，

則OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．