Question

理科（本小題14分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）

當時，，單調(diào)遞增，；

當時，，單調(diào)遞減，；（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故.   3分

（Ⅱ）令，  4分

則.函數(shù)在上可導，存在，使得.

又

當時，，單調(diào)遞增，；

當時，，單調(diào)遞減，；

故對任意，都有.   8分

（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.

①當時，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當時，結(jié)論成立.   9分

②假設(shè)當時結(jié)論成立，即當時，

. 當時，設(shè)正數(shù)滿足令，

 

則，且.

13分

當時，結(jié)論也成立.

綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.   14分

考點：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明，數(shù)學歸納法。

點評：難題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導數(shù)的應用中的基本問題。本題（III）應用數(shù)學歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。