Question

已知函數f（x）=|x²-4x+3|
（1）求函數f（x）的單調區間，并指出其增減性；
（2）關于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．
（3）若：h（x）=|4x-x²|+a有4個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出函數f（x）=|x²-4x+3|的圖象，由圖象直接得到單調區間；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，把方程根的問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，數形結合即可得到答案；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4個零點，即方程|4x-x²|+a=0有4個根，即方程|4x-x²|=-a有4個根，作出函數g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，數形結合即可得到答案．

解答：解：（1）函數f（x）的圖象如圖，

由圖象可知函數f（x）的減區間為（-∞，1]，（2，3]；
函數f（x）的增區間為（1，2]，（3，+∞）；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，
聯立

y=x+a y=-x2+4x-3

，得x²-3x+a+3=0，
由△=（-3）²-4（a+3）=0，得a=-

3

4

．
所以方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數根的實數a的取值范圍是（-1，-

3

4

）；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4個零點，即方程|4x-x²|+a=0有4個根，
即方程|4x-x²|=-a有4個根．
令g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，作出g（x）的圖象如圖，

由圖象可知要使方程|4x-x²|=-a有4個根，則g（x）與t（x）的圖象應有4個交點，
∴0＜-a＜4，即-4＜a＜0，
∴a的取值范圍是（-4，0）．

點評：本題考查了函數的單調性，考查了函數的零點與方程的根的關系，考查了數學轉化和數形結合的解題思想方法，屬中檔題．