Question

已知函數f（x）=x³-（a+）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，則a為何值時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大？并求該切線方程；
（2）當a=2時，函數f（x）在區間（k-，k+）內不是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）若f（x）的圖象不經過第四象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數，可得
∵a＞0，∴
∴，當且僅當a=1時，等號成立
即當a=1時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大，該切線方程為y=；
（2）當a=2時，f（x）=x³-x²+x

令f′（x）＞0，可得或x＞2，此時函數單調遞增；
令f′（x）＜0，可得，此時函數單調遞減；
要使函數f（x）在區間（k-，k+）內不是單調函數，則
或
∴或
（3）f（x）的圖象不經過第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂=．
①當a＜0時，f（x）在[0，+∞）單調遞增，符合題意；
②當a＞0時，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}，
∵f（0）=0，∴
得≤a≤，
綜上所得，a的取值范圍是a＜0或≤a≤．（13分）
分析：（1）求導函數，可得，利用基本不等式，可知a=1時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大，從而可求切線方程；
（2）當a=2時，f（x）=x³-x²+x，求導函數，從而可知或x＞2時，函數單調遞增，時函數單調遞減，要使函數f（x）在區間（k-，k+）內不是單調函數，則或，從而可求實數k的取值范圍；
（3）f（x）的圖象不經過第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分類討論：①當a＜0時，f（x）在[0，+∞）單調遞增，符合題意；②當a＞0時，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}≥0即可，從而可求a的取值范圍．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查函數的最值，同時考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．