Question

已知函數f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求證：函數f（x）是增函數；
（2）如果函數f（x）的值域是[0，2]，試求m的取值范圍．
（3）如果函數f（x）的值域是[0，λm²]，試求實數λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據m的范圍可確定x的范圍，從而可以去掉函數內的絕對值符號，然后利用導數可證明增函數．
（2）先構造一個函數g（x），即沒有參數m限制的函數f（x），分段取絕對值符號變成分段函數，然后分別在各段內用導數判斷導數的單調性，從而確定g（x）最值，從中確定滿足條件的參數m的取值范圍．
（3）根據第（2）問得出的參數m的取值范圍，確定參數m的討論點，通過各段內的最大值等于λm² 得出實數λ的取值范圍，通過λ在各段的取值范圍確定最小值．

解答：解：（1）∵m＜1，且x∈[0，m]
∴0≤x＜1，∴0≤x²＜1，∴x²-3＜0
此時，f（x）=-x（x²-3）=-x³+3x
∵f′（x）=-3x²+3
∵0≤x²＜1
∴-3＜-3x²≤0
∴f′（x）=-3x²+3＞0
故此時，函數f（x）是增函數
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0
則g(x)=

3x-x3 ，0≤x≤ 3 x3-3x  ，x＞ 3

當0＜x＜

3

時，g′（x）=3-3x²=0 得x=1
所以g（x）在[0，1]上是增函數，在[1，

3

]上是減函數
當x＞

3

時，由g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[

3

，+∞）上是增函數
所以當x∈[0，

3

]時，函數g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

3

）=0
從而0＜m＜1均不符合題意，1≤m≤

3

均符合題意
當m＞

3

，在x∈[0，

3

)時，f（x）∈[0，2]；x∈[

3

，m]時，f（x）∈[0，f（m）]
這時f（x）的值域是[0，2]的充要條件是f（m）≤2
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得：

3

＜m≤2
綜上所述，m的取值范圍是[1，2]
（3）據（2）知，當0＜m＜1時，函數f（x）的最大值是f（m）=3m-m³
由題意可知，3m-m³=λm²，即λ=

3

m

-m，是減函數，故λ的取值范圍是（2，+∞）
當1≤m≤2時，函數f（x）的最大值是f（1）=2
由題意可知，2=λm²，即λ=

2

m2

，是減函數，故λ的取值范圍是[

1

2

，2]
當m＞2時，函數f（x）的最大值是f（m）=m³-3m
由題意可知，m³-3m=λm²，即λ=m-

3

m

，是增函數，故λ的取值范圍是(

1

2

，+∞)
綜上所述，λ的最小值是

1

2

，且此時m=2

點評：本題主要考查利用導數判斷函數單調性，難點在對參數m的討論點怎么確定，特別是第三問又出現了另外一個參數λ，使問題更加復雜．