Question

(本小題滿分13分)
某化工企業生產某種產品，生產每件產品的成本為3元，根據市場調查，預計每件產品的出廠價為x元(7≤x≤10)時，一年的產量為(11 – x)²萬件；若該企業所生產的產品能全部銷售，則稱該企業正常生產；但為了保護環境，用于污染治理的費用與產量成正比，比例系數為常數a (1≤a≤3)．
（Ⅰ）求該企業正常生產一年的利潤L (x)與出廠價x的函數關系式；       
（Ⅱ）當每件產品的出廠價定為多少元時，企業一年的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

L（x）= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．
，每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為(8 – a)³萬元

（Ⅰ）依題意，L (x) = (x – 3 ) (11 – x)² – a (11 – x)²
= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]． ………………5分
（Ⅱ）因為L′(x) =" (11" – x)² – 2 (x – 3 – a) (11 – x) =" (11" – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)
=" (11" – x )(17 + 2a – 3x)．
由L′(x) = 0，得x = 11[7，10]或x = ．  ………………7分
∵1≤a≤3，∴．
在x = 的兩側L′(x)由正變負，   ……………………8分       
故①當，即1≤a≤2時，L′(x)在[7，10]上恒為負，∴L (x)在[7，10]上為減函數．
∴[L (x)]_max = L (7) =" 16" (4 – a)．   ………………………………10分
②當7，即2<a≤3時，       [L (x)]_max = L ……12分
即1≤a≤2時，則當每件產品出廠價為7元時，年利潤最大，為16 (4 – a)萬元．當2<a≤3時，則每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為(8 – a)³萬元． …………13分