Question

給出以下命題：
①若α、β均為第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ；
②若函數y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，則a=

1

2

；
③函數y=

sin2x-sinx

sinx-1

是奇函數；
④函數y=|sinx-

1

2

|的周期是π
⑤函數y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]
其中正確命題的個數為（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：①若α、β均為第一象限角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，可知sinα＜sinβ；
②若函數y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，則

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

；
③由函數y=

sin2x-sinx

sinx-1

，可知sinx-1≠0，而由sinx≠1，得到x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，可知此函數的定義域關于原點不對稱；
④由于|sin（π+x）-

1

2

|=|sinx+

1

2

|≠|sinx-

1

2

|，可知π不是函數y=|sinx-

1

2

|的周期．
⑤函數y=sinx+sin|x|=

2sinx，x≥0 0，x＜0

，當x≥0時，sinx∈[-1，1]，可知函數的值域為[-2，2]．

解答：解：①若α、β均為第一象限角，且α＞β，如α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，但是sinα＜sinβ，因此不正確；
②若函數y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，則

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

，因此不正確；
③由函數y=

sin2x-sinx

sinx-1

，可知sinx-1≠0，而由sinx≠1，得到x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，可知此函數的定義域關于原點不對稱，因此不是奇函數，故不正確；
④∵|sin（π+x）-

1

2

|=|sinx+

1

2

|≠|sinx-

1

2

|，∴π不是函數y=|sinx-

1

2

|的周期．
⑤函數y=sinx+sin|x|=

2sinx，x≥0 0，x＜0

，當x≥0時，sinx∈[-1，1]，可知函數的值域為[-2，2]，因此不正確．
綜上可知：①②③④⑤都不正確．
故選：D．

點評：本題綜合考查了三角函數的圖象與性質，屬于難題．