Question

已知橢圓C：3x²+4y²=12，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓上有不同的兩點A、B關于這條直線對稱.

Answer 1

分析：本題可用對稱的實質即直線AB與l垂直，線段AB的中點在l上，聯立直線AB與橢圓方程利用判別式求解；又因存在關于l對稱的兩點A、B，所以AB的中點在l上，由直線AB與直線l垂直，知k_AB=，故可用“點差法”求出AB中點M的坐標，然后利用點M在橢圓內部去求解.

解：設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，AB的中點M（x₀,y₀）.

則

兩式相減得3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

即.

所以y₀=3x₀.又M（x₀,y₀）在直線l上，

所以

解得

因為點M（-m,-3m）在橢圓內部，

所以3(-m)²+4(-3m)²＜12,

即.

所以m的取值范圍為m∈(,).