Question

(本小題滿分12分)定義在上的函數同時滿足以下條件：

①在上是減函數，在上是增函數；                 

②是偶函數；

③在處的切線與直線垂直.

(1)求函數的解析式；

(2)設，求函數在上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2）。

【解析】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是確定函數的單調性

（1）求導函數，可得f′（x）=ax²+2bx+c，根據R上的函數f(x)= ax³+bx²+cx+2同時滿足的條件，列出方程組，從而可求函數y=f（x）的解析式；

（2）求導函數，確定函數的單調性，再結合區間，進行分類討論，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值．

解：（1）.   

由題意知即解得  

所以函數的解析式為.   . …………….…….……4分

（2），   .

令得，所以函數在遞減，在遞增.    ……6分

當時，在單調遞增，.

當時，即時，

在單調遞減，在單調遞增， .  ……9分

當時，即時，

在單調遞減，     

綜上，在上的最小值……12分