Question

（本小題滿分14分）已知函數處取得極值2。

(Ⅰ)求函數的表達式；

（Ⅱ）當滿足什么條件時，函數在區間上單調遞增？

（Ⅲ）若為圖象上任意一點，直線與的圖象切于點P，求直線的斜率的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)。

（Ⅱ）當時，函數在區間上單調遞增。

（Ⅲ）直線的斜率的取值范圍是。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為     ·········2分

而函數在處取得極值2，

所以， 即 解得 

所以即為所求          ············4分

（Ⅱ）由（1）知

令得：

則的增減性如下表：

	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
	負	正	負

可知，的單調增區間是[-1，1]，    ·····6分

所以

所以當時，函數在區間上單調遞增。  ·········9分

（Ⅲ）由條件知，過的圖象上一點P的切線的斜率為：

          11分

令，則，

此時，的圖象性質知：

當時，；

當時，

所以，直線的斜率的取值范圍是   ···········14分

考點：本題主要考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的極值及單調性。

點評：典型題，過的圖象上一點P的切線的斜率為函數在該點的導數值。利用導數研究函數的單調性，主要導函數值的正負。