Question

正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線y=x²上,另兩個頂點C、D在直線y=x-4上,求正方形的面積.

Answer 1

思路分析:正方形的面積=|AB|².因此,要用正方形的性質,把AB的直線方程求出來.進而求出弦長,問題得解.

解法一:設AB:y=x+b,代入拋物線方程得x²-x-b=0,

∴x₁+x₂=1,x₁x₂=-b.

|AB|=,而|AD|=,

∴,解得b=6或2.

∴正方形面積=|AB|²=2+8b=50或18.

解法二:設正方形ABCD的邊長為d,

則直線AB是把CD向上平移d而得,

設方程為y=x-4+d.

由

消去y得x²-x+4-d=0.

由韋達定理得x₁+x₂=1,x₁x₂=4-d.

∴|AB|=|x₁-x₂|=·=·.

又∵|AB|=d,∴d²=2(4d-15).

解得d=3或d=5.

∴正方形ABCD的面積是18或50.