Question

 已知函數f（x）＝2lnx+ax²－1（a∈R）

(Ⅰ)求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若a＝1，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m對任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范圍；

（ii）若x₁，x₂是兩個不相等的正數，且f（x₁）+f（x₂）＝0，求證x₁+x₂>2.

Answer 1

 (Ⅰ)f(x)的定義域為，，  令，，

  ①當時，在恒成立，f(x)遞增區間是； …….2分

  ②當時，,

又x>0,  遞增區間是，遞減區間是.      ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

設,

   化簡得：, ,…6分

     ，在上恒成立，在上單調遞減，

  所以，,即的取值范圍是       

（ⅱ），在上單調遞增,

①若，則與已知矛盾,

②若,則與已知矛盾,

③若，則，又，得與矛盾,

④不妨設，則由（Ⅱ）知當時,,

令，則,
又在上單調遞增，即 .     

證2：

,

設，則t>0，，,

令，得，在（0，1）單調遞減，在單調遞增,

,又因為時,,不成立.

，.