Question

在等差數列和等比數列中，，，是前項和．
（1）若，求實數的值；
（2）是否存在正整數，使得數列的所有項都在數列中？若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（3）是否存在正實數，使得數列中至少有三項在數列中，但中的項不都在數列中？若存在，求出一個可能的的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，；(3)存在，(答案不唯一)．

試題分析：(1)數列是等比數列，其前和的極限存在，因此有公式滿足，且極限為；(2)由于是正整數，因此可對按奇偶來分類討論，因此當為奇數時，等比數列的公比不是整數，是分數，從而數列從第三項開始每一項都不是整數，都不在數列中，而當為偶數時，數列的所有項都在中，設，則，展開有
，這里用到了二項式定理，，結論為真；(3)存在時只要找一個，首先不能為整數，下面我們只要寫兩數列的通項公式，讓，取特殊值求出，如取，可得，此時在數列中，由于是無理數，會發現數列除第一項以外都是無理數，而是整數，不在數列中，命題得證，(如取其它的又可得到另外的值)．
試題解析：（1）對等比數列，公比．
因為，所以．     ２分
解方程，      ４分
得或．
因為，所以．     ６分
（2）當取偶數時，中所有項都是中的項．        8分
證: 由題意：均在數列中，
當時，
 
說明的第n項是中的第項．        10分
當取奇數時，因為不是整數，
所以數列的所有項都不在數列中。    12分
綜上，所有的符合題意的。
（3）由題意，因為在中，所以中至少存在一項在中，另一項不在中。                    14分
由得，
取得，即.
取4，得（舍負值）。此時。           16分
當時，，，對任意，.    18分
綜上，取．
(此問答案不唯一，請參照給分)