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已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
13
，且α∈（0，π），求
OB
與
OC
夾角的大小；
（2）若(
OA
+2
OB
)⊥
OC
，求cos2α．
分析：（1）由題意可得
OA
，
OB
，
OC
的坐標，進而可得
OA
+
OC
的坐標，由已知和向量的模長公式可解得cosα，可得
OB
•
OC
的值，代入夾角公式可得夾角的余弦值，可得夾角；
（2）由（1）可得
OA
+2
OB
，由向量垂直可得(
OA
+2
OB
)•
OC
=0，代入數據計算可得tanα的值，由三角函數的知識可得cos2α=
1-tan2α
1+tan2α
，代入運算可得．
解答：解：（1）由題意可得
OA
=（3，0），
OB
=（0，3），
OC
=（cosα，sinα），
∴
OA
+
OC
=（3+cosα，sinα），
∴|
OA
+
OC
|=
(3+cosα)2+sin2α
=
10+6cosα
=
13
，
解得cosα=
1
2
，又∵α∈（0，π），∴α=
π
3
，
∴
OC
=（
1
2
，
3
2
），
OB
•
OC
=
3
3
2
，
∴cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
||
OC
|
=
3
2
，
又＜
OB
，
OC
＞∈[0，π]，
∴
OB
與
OC
夾角為
π
6
；
（2）由（1）可得
OA
+2
OB
=（3，6），
由(
OA
+2
OB
)⊥
OC
可得(
OA
+2
OB
)•
OC
=0，
代入數據可得3cosα+6sinα=0，解得tanα=-
1
2

∴cos2α=cos2α-sin2α=
cos2α-sin2α
cos2α+sin2α

=
1-tan2α
1+tan2α
=
1-(-
1
2
)2
1+(-
1
2
)2
=
3
5
點評：本題考查數量積與向量夾角的關系，涉及三角函數的運算，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A（-3，0），B（0，
3
）O為坐標原點，點C在∠AOB內，且∠AOC=60°，設
OC
=λ
OA
+
OB
（λ∈R），則λ等于（　　）
A、
3
3
B、
3
C、
1
3
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若
AC
•
BC
=-1，求sin(α+
π
4
)的值；(2)O為坐標原點，若|
OA
-
OC
|=
13
，且α∈(0，π)，求
OB
與
OC
的夾角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標分別為F1（-2，0），F2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求
OM
•
ON
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點．
（1）若
AC
⊥
BC
，求sin2α的值；
（2）若丨
OC
+
OA
丨=
13
，α∈（0，π），求
OB
與
OC
的夾角．

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