Question

若奇函數y=f（x）（x≠0），在x＞0時，f（x）=x-1，則x•f（x-1）＜0的x的取值范圍是（　　）

A、（-∞，0）

B、（1，2）

C、（-∞，0）∪（1，2）

D、（-∞，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：當x＜0時，-x＞0則f（-x）=-x-1，由函數為奇函數可得f（-x）=-f（x）可求f（x）
當x＞0時，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＜0，；當x＜0時，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＞0，從而可求x得范圍

解答：解：當x＜0時，-x＞0則f（-x）=-x-1
由函數為奇函數可得f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x+1，x＜0
∴f(x)=

x-1，x＞0 x+1，x＜0

當x＞0時，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＜0，則x-1＜-1或0＜x-1＜1，即x＜0或1＜x＜2
∴1＜x＜2
當x＜0時，由xf（x-1）＜0可得f（x-1）＞0，則x-1＞1或-1＜x-1＜0，即x＞2或0＜x＜1，此時x不存在
故選B．

點評：本題主要考查了利用奇函數的定義求解函數的解析式，及與分段函數有關的不等式的解法，屬于函數性質的綜合應用．