Question

（本小題滿分13分）已知函數

   （I）當0< a < b，且f（a） = f（b）時，求的值；

   （II）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f（x）的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]（m≠0）．求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解：（I） ∵

    ∴f（x）在（0，1）上為減函數，在上是增函數．

    由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a1<b且．所以．

   （II）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

    則a>0，m>0．

    當時，由于f（x）在（0，1）上是減函數，故．

    此時得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．

    當　時，易知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．　故只有．                  ∵在上是增函數，

    ∴        即    a、b是方程的兩個根．

    即關于x的方程有兩個大于1的實根．設這兩個根為，．

    則+=，·=．

    ∴       即  解得   ．