Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，分別過A、C作平面ABC的垂線AA′和CC′，AA′=h₁，CC′=h₂，且h₁＞h₂，連接A′C和AC′交于點P．
（I）設點M為BC中點，求證：直線PM與平面A′AB不平行；
（II）設O為AC中點，若h₁=2，二面角A-A′C′-B等于45°，求直線OP與平面A′BP所成的角．

Answer 1

分析：（I）由要證明的結論的特點，考慮利用反證法：假設直線PM∥平面A′AB可得PM∥A′B，又M為BC的中點，故可得P為A′C的中點，又AA′∥CC^'可得

h1

h2

=1與h₁＞h₂矛盾
（II）連接BO，則BO⊥AC由A′A⊥平面ABC可得平面A′ACC′⊥平面ABC，則BO⊥平面A′ACC'，在平面A′ACC′內過O作A′C′的垂線，垂足為D，連接OD，則∠BDO為二面角B-A′C′-A的平面角，結合已知條件可求

解答：解：（I）證明：連接PM，假設直線PM∥平面A′AB
∵PM?平面A′BC，平面A′BC∩平面A′AB=A′B
∴PM∥A′B
又∵M為BC的中點，故P為A′C的中點
∵AA′⊥平面ABC，CC′⊥平面ABC
AA′∥CC′
∴

AA′

CC′

=

A′P

PC

∴

h1

h2

=1
∴h₁=h₂
與h₁＞h₂矛盾
假設錯誤，所以直線PM與平面A′AB不平行
（II）（法一）連接BO，則BO⊥AC
∵A′A⊥平面ABC，∴平面A′ACC′⊥平面ABC
∵平面ABC∩平面A′ACC′=AC
∴BO⊥平面A′ACC′
在平面A′ACC′內過O作A′C′的垂線，垂足為D，連接OD，則∠BDO為二面角B-A′C′-A的平面角
∴∠BDO=45°∴△BDO為等腰直角三角形，OD=

2

∵OA=OD=

2

且∠A′AO=∠A′DO=90°
∴Rt△A′AO≌Rt△A′DO∴A′D=2同理得C′D=h₂
則由勾股定理可得(2-h2)2+(2

2

)2=(2+h2)2∴h₂=1
又直線OP與平面A′BP所成的角即直線OP與平面A′BC所成的角，設為α，設點O到平面A′BC的距離為h_o，
點P到平面ABC的距離為h_p
則sinα=

ho

OP

，hp =

2

3

  S△PBC=

1

3

S△A′BC=

2 2

3

，S_△OBC=1
由等體積法可得ho=

2

2

在平面A′ACC′內可求得OP=

6

3

，∴sinα=

ho

OP

=

3

2

所以直線OP與平面A′BP所成的角為60°．

點評：本題主要考查了利用反證法證明數學命題應用，反證法的關鍵是要由假設進行邏輯推理，從而得出矛盾，還考查了直線與平面所成的角的求解，解題中要注意利用等體積求解距離的方法的應用．