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如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求
BN
的模；
（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M．
（1）以C為坐標原點，以
CA
、
CB
、
CC1
的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系C-xyz，如圖
由題意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|
BN
|=
12+(-1)2+12
=
3
．
（2）依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．
∴
BA1
=（1，-1，2），
CB1
=（0，1，2），
∴
BA1
•
CB1
=3．
∴|
BA1
|=
6
，|
CB1
|=
5
，
∴cos＜
BA1
，
CB1
＞=
BA1
•
CB1
|
BA1
||
CB1
|
=
30
10
，
∴異面直線BA1與CB1所成角的余弦值為
30
10
．
（3）證明：∵
A1B
=（-1，1，-2），
C1M
=（
1
2
，
1
2
，0），
∴
A1B
•
C1M
=-1×
1
2
+1×
1
2
+（-2）×0=0，
∴
A1B
⊥
C1M
，即A1B⊥C1M．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，求證：另一條也平行于這個平面．
如圖，已知直線，平面，且，，，都在外．求證：．
 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別為A1B1，A1A的中點．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求證：BN⊥平面C1MN．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側棱長是
3
，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求點A到平面A1BD的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2
2
，則AC1與面BDD1所成角的大小是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體A1B1C1D1-ABCD中，
（1）求直線B1D與平面A1BC1所成的角；
（2）求點A到面A1BC1的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H．
（1）求證：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函數表示）
（3）求點B1到平面A1BD的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（1）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（2）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥PE；
（3）求二面角A-PB-E的大小．

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