Question

（本題滿分14分 ）在銳角中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足2sinB(2cos²－1)＝－cos2B.
（1）求B的大小；  
（2）如果，求的面積的最大值.

Answer 1

（1）B＝；(2)△ABC的面積最大值為。

(1)由2sinB(2cos²－1)＝－cos2B可得2sinBcosB＝－cos2B,從而得tan2B＝－,得2B＝,∴B＝.
(2)由于B=,b=2,所以由余弦定理4＝a²＋c²－ac≥2ac－ac＝ac,從而得出ac的最大值為4,故面積最大值確定.
解：（1）2sinB(2cos²－1)＝－cos2BÞ2sinBcosB＝－cos2B Þ  tan2B＝－    ……4分
∵0＜2B＜π,∴2B＝,∴B＝  ……6分
(2)由tan2B＝－ Þ  B＝
∵b＝2，由余弦定理，得：4＝a²＋c²－ac≥2ac－ac＝ac(當且僅當a＝c＝2時等號成立)……10        
∵△ABC的面積S_△ABC＝ acsinB＝ac≤
∴△ABC的面積最大值為   ……14