Question

已知f(x)=

a•2x-1

2x+1

是定義在R上的奇函數，
（1）求f（x）及f^-1（x）的表達式．
（2）若當x∈（-1，1）時，不等式f-1(x)≥log

2

1+x

m

恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意求出函數的定義域是R，再由f（x）=-f（-x）所以f（0）=0列出方程，整理后利用對應項的系數相等，求出a的值得求f（x）表達式，將y=f（x）作為方程利用指數式和對數式的互化解出x，然后確定原函數的值域問題得f^-1（x）的表達式．
（2）log2

1+x

1-x

≥log

2

1+x

m

根據對數函數的性質得出：

1+x

1-x

≥(

1+x

m

)2最后得出不等式m²≥（1-x²）_max從而求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數，且在x=0處有意義，所以f（0）=0，
即

a-1

2

=0，解得a=1，所以f(x)=

2x-1

2x+1

-------------------------------------------------------（2分）
設y=

2x-1

2x+1

，則y2^x+y=2^x-1，即2x=

1+y

1-y

，由

1+y

1-y

＞0得-1＜y＜1，--------------（4分）
又x=log2

1+y

1-y

，所以y=log2

1+x

1-x

，（-1＜x＜1）
即f-1(x)=log2

1+x

1-x

，（-1＜x＜1．）-----------------------------------------------------（6分）
（2）log2

1+x

1-x

≥log

2

1+x

m

即

1+x

1-x

≥(

1+x

m

)2，----------------------------------------------8 分
得m²≥1-x²，，所以不等式m²≥（1-x²）_max，----------------------------------------------------（10分）
由x∈（-1，1）知則m≥1．----------------------------------------------------（12分）

點評：本題屬于基礎性題，思路清晰、難度小，但解題中要特別注意指數式與對數式的互化，這是一個易錯點，另外恒成立的問題也是一個難點．