Question

已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中點O，連接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=

1

2

DC，又FO=AE．AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC，可得線面平行．
（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA=

5

5

．
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角tan∠PMA=

2

．

解答：解：（Ⅰ）取PC的中點O，連接OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE
又E是AB的中點．且AB=DC．
∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．
∴AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

即直線PC與平面ABCD所成的角正切為

5

5

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，
由三垂線定理，得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角
由△AME∽△CBE，可得AM=

2

2

，
∴tan∠PMA=

PA

AM

=

2

∴二面角P一EC一D的正切為

2

點評：解決成立問題的關鍵是將空間角找出并且把空間問題轉化為平面問題，步驟是一作角二證角三求角四結論．