Question

在某學校組織的一次籃球總投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第3次．某同學在A處的命中率q₁為0.25，在B處的命中率為q₂．該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學投籃的訓練結束后所得的總分，其分布列為

ξ		2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（1）求q₂的值；
（2）求隨機變量ξ的數學期望Eξ；
（3）試比較該同學選擇在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，“ξ=0”對應的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”，由對立事件和相互獨立事件性質，能求出q₂．
（2）分別求出p₁=p（ξ=2），p₂=p（ξ=3），p₃=p（ξ=4），p₄=p（ξ=5），由此能求出Eξ．
（3）用C表示事件“該同學選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得分超過3分”，用D表示事件“該同學選擇都在B處投，得分超過3分”，則P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5），P（D）=，由此能求出結果．
解答：解：（1）由題設知，“ξ=0”對應的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”，
由對立事件和相互獨立事件性質，
知p（ξ=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03，
∵q₁=0.25，
∴解得q₂=0.8．
（2）根據題意p₁=p（ξ=2）=（1-q₁）•（1-q₂）q₂=0.75×2×0.2×0.8=0.24，
p₂=p（ξ=3）==0.25×（1-0.8）²=0.01，
p₃=p（ξ=4）=（1-q₁）=0.75×0.8²=0.48，
p₄=p（ξ=5）=q₁q₂+q₁（1-q₂）q₂=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“該同學選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得分超過3分”，
用D表示事件“該同學選擇都在B處投，得分超過3分”，
則P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P₃+P₄=0.48+0.24=0.72，
P（D）==0.8²+2×0.8×0.2×0.8=0.896，
故P（D）＞P（C）．
即該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大于該同學選擇第一次在A處投以后都在B處投得分超過3分的概率．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．