Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數．請解答以下問題：
（1）判斷函數f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否為閉函數？并說明理由；
（2）求證：函數y=-x³（x∈[-1，1]）為閉函數；
（3）若y=k+

x

(k＜0)是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可判斷函數f（x）在定義域內不單調，由閉函數的定義可作出判斷；
（2）按照閉函數的定義只需證明兩條：①在定義域內單調；②該函數值域也為[-1，1]；
（3）由y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數，知其符合條件①；
設函數符合條件②的區間為[a，b]，從而有

a=k+ a b=k+ b

，問題轉化為方程x=k+

x

有兩個不等非負實根，利用二次方程根的分布知識可得k的限制條件；

解答：解：（1）函數f（x）在區間(-∞，

1

2

]上單調遞減，在(

1

2

，+∞)上單調遞增；
所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數．
（2）先證y=-x³符合條件①：對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的減函數．
又因為y=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函數y=-x³（x∈[-1，1]）為閉函數；
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數，符合條件①；
設函數符合條件②的區間為[a，b]，則有

a=k+ a b=k+ b

；
故a，b是x=k+

x

的兩個不等根，即方程組為：

x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k

有兩個不等非負實根；
設x₁，x₂為方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，則

△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0

，
解得：-

1

4

＜k＜0
∴k的取值范圍(-

1

4

，0)．

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，解題的關鍵是理解新定義，并利用新定義求參數的值．