Question

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。

（Ⅰ）當時，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析:

本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力。（14分）

解：依題意，可設直線MN的方程為，則有

由消去x可得

從而有                                             ①

于是                                    ②

又由，可得                  ③

（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線

此時 ①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經過原點O，

同理可證直線也經過原點O

又設則

（2）當得對稱軸x=b位于區間之外

此時

由

①         若

于是

②         若，則，

于是

綜上，對任意的b、c都有

而當，時，在區間上的最大值

故對任意的b，c恒成立的k的最大值為