Question

給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(,0),其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為.

(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn),過動點(diǎn)P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時,求l1,l2的方程;

②求證:|MN|為定值.

 

Answer 1

(1) +y2=1 x2+y2=4

(2) ①y=x+2,y=-x+2 ②見解析

【解析】(1)∵c=,a=,∴b=1.

∴橢圓方程為+y2=1,

準(zhǔn)圓方程為x2+y2=4.

(2)①因?yàn)闇?zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P(0,2),

設(shè)過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓有一個公共點(diǎn)的直線為y=kx+2,所以由消去y,

得(1+3k2)x2+12kx+9=0.

因?yàn)闄E圓與y=kx+2只有一個公共點(diǎn),

所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.

所以l1,l2的方程分別為y=x+2,y=-x+2.

②(ⅰ)當(dāng)l1,l2中有一條無斜率時,不妨設(shè)l1無斜率,

因?yàn)?/span>l1與橢圓只有一個公共點(diǎn),

則其方程為x=±.

當(dāng)l1方程為x=時,

此時l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(,1),(,-1),

此時經(jīng)過點(diǎn)(,1)(或(,-1))且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是y=1(或y=-1),

即l2為y=1(或y=-1),顯然直線l1,l2垂直;

同理可證l1方程為x=-時,直線l1,l2垂直.

(ⅱ)當(dāng)l1,l2都有斜率時,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),

其中+=4.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為y=t(x-x0)+y0,

則消去y,

得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.

由Δ=0化簡整理得:(3-)t2+2x0y0t+1-=0.

因?yàn)?/span>+=4,

所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0.

設(shè)l1,l2的斜率分別為t1,t2,

因?yàn)?/span>l1,l2與橢圓只有一個公共點(diǎn),

所以t1,t2滿足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,

所以t1·t2=-1,即l1,l2垂直.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知:因?yàn)?/span>l1,l2經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),

又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M,N,且l1,l2垂直,

所以線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑,

所以|MN|=4.