Question

已知兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，滿足條件|

PF2

|-|

PF1

|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果|AB|=6

3

且曲線E上存在點C，使

OA

=

OB

=m

OC

求m的值和△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先根據曲線的定義判斷出曲線E是雙曲線的左支，a和c已知，則可求得b，曲線E的方程可得．設出A，B的坐標，把直線方程與雙曲線方程聯立消去y，進而根據直線與雙曲線左支交于兩點A，B，聯立不等式求得k的范圍．
（Ⅱ）根據弦長公式求得|AB|的表達式，根據結果為6

3

求得k，則直線AB的方程可得，設C（x₀，y₀），根據

OA

=

OB

=m

OC

，可得(mx0，my0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)；根據x₁+x₂和y₁+y₂的值求得C點的坐標，代入雙曲線方程求得m的值，進而求得點C到直線AB的距離，最后利用三角形面積公式求得三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的雙曲線的左支，
且c=

2

，a=1，易知b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，有

1-k2≠0 △=(2k)2-8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．

（Ⅱ）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依題意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1∴k=-

5

2

故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0
設C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀）
∴(mx0，my0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴點C(

-4 5

m

，

8

m

)
將點C的坐標代入曲線E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，點C的坐標為(-

5

，2)C到AB的距離為

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

∴△ABC的面積S=

1

2

×6

3

×

1

3

=

3

點評：本小題主要考查雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力．