Question

過拋物線y²=4x的焦點F引兩條互相垂直的直線AB、CD交拋物線于A、B、C、D四點．
（1）求當|AB|+|CD|取最小值時直線AB、CD的傾斜角的大小
（2）求四邊形ACBD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）考慮到過拋物線y²=4x的焦點F引兩條互相垂直的直線AB、CD，利用拋物線的極坐標方程解決．先以F為極點，FX為極軸，建立極坐標系，寫出拋物線的極坐標方程，利用極徑表示出|AB|+|CD|，利用三角函數求解即得；
（2）利用極徑結合三角形的面積公式表示出四邊形ACBD的面積，利用三角函數的性質即可求解．

解答：解：（1）F為極點，FX為極軸，建立極坐標系，
則拋物線的極坐標方程可寫為ρ=

2

1-cosθ

…3’
設A（ρ₁，θ），則B（ρ₂，π+θ）
∴|AB|=ρ1+ρ2=

2

1-cosθ

+

2

1-cos(π+θ)

=

4

sin2θ

…2’
同理|CD|=

4

sin2(θ+ π 2 )

=

4

cos2θ

…2’
∴|AB|+|CD|=

4

sin2θ

+

4

cos2θ

=

4

sin2θcos2θ

=

16

sin22θ

…2’
故當θ=

π

4

時，|AB|+|CD|取最小值16，此時AB、CD的傾斜角分別為

π

4

，

3π

4

．
（2）SABCD=

1

2

|AB|．|CD|=

8

sin2θcos2θ

=

32

sin22θ

…2’
易知：當θ=

π

4

時，（S_ABCD）_min=32
注：若以直角坐標系求解可同樣給分…4’

點評：本題主要考查了拋物線的應用、簡單曲線的極坐標方程，涉及了直線與拋物線的關系．屬于基礎題．