Question

已知向量，，且．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設曲線與直線相交于不同的兩點，又點，當時，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1).(2)當時，m的取值范圍是，當時，m的取值范圍是.

試題分析：(1)由題意得，，
，計算并化簡得.
(2)由得，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，∴，即.
討論當時，得所求的的取值范圍是；
當時，得m的取值范圍是.
(1)由題意得，，
∵，∴，
化簡得，∴點的軌跡的方程為.    4分
(2)由得，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，∴，即.①  6分
(i)當時，設弦的中點為，分別為點的橫坐標，則，
從而，，     8分
又，∴.
則，即，  ②
將②代入①得，解得，由②得，解得，
故所求的的取值范圍是.                           10分
(ii)當時，，∴，，
解得.                                         12分
綜上，當時，m的取值范圍是，
當時，m的取值范圍是.                          13分