Question

（2012•海淀區二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F（1，0），且點（-1，

2

2

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；
（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可．

解答：解：（1）由題意，c=1
∵點（-1，

2

2

）在橢圓C上，∴根據橢圓的定義可得：2a=

(-1-1)2+( 2 2 )2

+

2

2

，∴a=

2

∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設x軸上存在點Q（m，0），使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立
當直線l的斜率為0時，A（

2

，0），B（-

2

，0），則(

2

-m，0)•(-

2

-m，0)=-

7

16

，∴m2=

25

16

，∴m=±

5

4

①
當直線l的斜率不存在時，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，則(1-m，

2

2

)•(1-m，-

2

2

)=-

7

16

，∴(1-m)2=

1

16

∴m=

5

4

或m=

3

4

②
由①②可得m=

5

4

．
下面證明m=

5

4

時，

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立
當直線l的斜率為0時，結論成立；
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，∴y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∴

QA

•

QB

=（x₁-

5

4

，y₁）•（x₂-

5

4

，y₂）=（ty₁-

1

4

）（ty₂-

1

4

）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-

1

4

t（y₁+y₂）+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

綜上，x軸上存在點Q（

5

4

，0），使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查存在性問題，解題的關鍵的先猜后證，有一定的難度．