Question

已知函數f （x）=x （1+x）²．
（1）求實數a，b的值，使函數在區間[a，b]上的值域也為[a，b]；
（2）設函數g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區間[1，2]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數在區間[a，b]上的值域也為[a，b]，可得a，b即為方程f （x）=x的解，解方程f （x）=x可得實數a，b的值；
（2）由函數g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區間[1，2]上恒成立，可得kx≤f（x）+2在區間[1，2]上恒成立，即k≤[f（x）+2]÷x在區間[1，2]上恒成立，構造函數h（x）=[f （x）+2]÷x，求出其在區間[1，2]上的最小值后可得k的取值范圍．

解答：解（1）由題意知，f（a）=a且f（b）=b，
a，b即為方程f（x）=x的解，
即    x（1+x）²=x，
解得x₁=0，x₂=-2．
當-2≤x≤0時，檢驗知符合題意．
∴a=-2，b=0．
（2）g（x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區間[1，2]上恒成立
kx≤f（x）+2在區間[1，2]上恒成立，
∴k≤x2+2x+1+

2

x

在區間[1，2]上恒成立
令h（x）=x2+2x+1+

2

x

  
則h′（x）=2x+2-

2

x2

=

2x3+2x2-2

x2

＞0恒成立
即h（x）在區間[1，2]上為增函數
故當x=1時，h（x）取最小值6
∴k的取值范圍是k≤6

點評：本題考查的知識點是導數在最大值，最小值問題中的應用，根的存在性及根的個數判斷，其中熟練掌握利用導數法處理函數恒成立問題的方法和步驟是解答本題的關鍵．