Question

（2012•包頭一模）如圖橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的右頂點是A，上下兩個頂點分別為B，D，四邊形OANB是矩形（O為原點），點E，M分別為線段OA，AN的中點．
（Ⅰ）證明：直線DE與直線BM的交點在橢圓C上；
（Ⅱ）若過點E的直線交橢圓于R，S兩點，K為R關于x軸的對稱點（R，K，E不共線），問：直線KS是否經過x軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直線DE、BM的方程，從而可得交點坐標，代入橢圓方程驗證即可；
（Ⅱ）確定直線SK的方程，求得y=0時，橫坐標為定值，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：由題意，得A(2，0)，B(0，

3

)，D(0，-

3

)，E(1，0)，M(2，

3

2

)，
所以直線DE的方程y=

3

x-

3

，直線BM的方程為y=-

3

4

x+

3

，------（2分）
由

y= 3 x- 3 y=- 3 4 x+ 3

，得

x= 8 5 y= 3 3 5

，
所以直線DE與直線BM的交點坐標為(

8

5

，

3 3

5

)，---------------（4分）
因為

( 8 5 )2

4

+

( 3 3 5 )2

3

=1，所以點(

8

5

，

3 3

5

)在橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1上．---------（6分）
（Ⅱ）設RS的方程為y=k（x-1），代入C：

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則K（x₁，-y₁），x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
直線SK的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，令y=0，得x=

y1x2+y2x1

y2+y1

，
將y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得x=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=4，
所以直線SK經過x軸上的點（4，0）．---------（12分）

點評：本題考查直線方程，考查點與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點，確定直線的方程是關鍵．