Question

定義在R上的函數滿足對任意實數，總有，且當時，.
(1)試求的值；
(2)判斷的單調性并證明你的結論；
(3)設，若，試確定的取值范圍.

Answer 1

（1）在中，令．得：．
因為，所以，．
（2）要判斷的單調性，可任取，且設．
在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．
為比較的大小，只需考慮的正負即可．
在中，令，，則得．
∵ 時，，
∴ 當時，．
又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．
∴ ．
∴ 函數在R上單調遞減．
（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子．
，
，即．
由，所以，直線與圓面無公共點．
所以．解得：．

略