Question

（本小題滿分14分）

已知函數．

(Ⅰ) 求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數g(x)=x³ + x²在區間上總存在極值？

（Ⅲ）當時，設函數，若在區間上至少存在一個，

使得成立，試求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.

（Ⅱ）當在內取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值.

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：(I)求導，根據導數大（小）于零，求得函數f(x)的增（減）區間，要注意含參時對參數進行討論.

（II）根據可得，從而可求出,進而得到,那么本小題就轉化為有兩個不等實根且至少有一個在區間內,然后結合二次函數的圖像及性質求解即可.

(III)當a=2時，令，則

.

然后對p分和兩種情況利用導數進行求解即可.

（Ⅰ）由知

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.

（Ⅱ）由,    ∴，.    

故，

∴．

∵ 函數在區間上總存在極值，

∴有兩個不等實根且至少有一個在區間內

又∵函數是開口向上的二次函數，且，

∴ 由，

  ∵在上單調遞減，所以； 

∴，由，解得；

綜上得： 

所以當在內取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值.

（Ⅲ）令，則

.

①當時，由得，從而,

所以，在上不存在使得；

②當時，,，

在上恒成立，

故在上單調遞增.

 

故只要，解得

綜上所述， 的取值范圍是

考點：本題考查了導數在求函數單調區間極值最值當中的應用.

點評：利用導數求單調區間時，要注意含參時要進行討論，并且對于與不等式結合的綜合性比較強的題目，要注意解決不等式問題時，構造函數利用導數研究單調性極值最值研究.